简介

层次分析法，简称AHP，是指将与决策总是有关的元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础之上进行定性和定量分析的决策方法。该方法是美国运筹学家匹茨堡大学教授萨蒂于20世纪70年代初，在为美国国防部研究”根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配”课题时，应用网络系统理论和多目标综合评价方法，提出的一种层次权重决策分析方法。

层次分析法构造系统模型步骤

建立层次结构模型
构造判断（成对比较）矩阵
层次单排序及其一致性检验
层次总排序及其一致性检验

层次分析法结构模型的组成

最高层（目标层）：决策的问题和需要解决的问题
最低层（方案层）：待决策的备选方案
中间层（准则层）：考虑的因素和决策的准则

构造判断（成对比较）矩阵

目的：将多因素之间的比较变为凉凉因素之间的比较，从而减少不同性质元素比较的困难。换句话说，在ABCDE等多个元素中你更看重哪一个，变成在AB中你更看重哪一个，这样的比较更加容易被人接受

标度表

小石老师

矩阵展示

小石老师

在A矩阵中，元素a_i_j 表示i因素比j因素的更重要的程度，即Ci:Cj，如果a_i_j=9则表示i的重要性远远大于j,因此a_j_i=Cj:Ci = 1/9

一致性检验

目的

我们在上一步已经得出了判断矩阵，但是我们注意一下a₂₁,a₁₃,a₂₃

a₂₁ = 2 = C₂/C₁

a₁₃ = 4 = C₁/C₃

a₂₃ = 7 = C₂/C₃

正常情况下a₂₃ = a₁₃ * a₂₁ = 8 但与矩阵中的情况是矛盾的，所以我们将这种情况叫做成对比较的不一致情况

在建模过程中，允许不一致，但是要确定不一致的允许范围

步骤

求矩阵的最大特征值（Max_eig）
引入一致性指标CI = (Max_eig - n) / (n - 1) n为矩阵的维度，也就是因素个数
查找平均随即一致性指标
计算一致性比例 CR=CI/RI
判断是否通过一致性检验

一致性检验代码：

# 一致性检验
import numpy as np
def CRcheck(a, RI=None):
    if RI is None:
        RI = [0, 0, 0.52, 0.89, 1.12, 1.26, 1.36, 1.41, 1.46, 1.49, 1.52, 1.54, 1.56, 1.58, 1.59]
    n = a.shape[0]
    if n>15:
        raise Exception('内涵RI最大支持15阶，缺少参数RI')
    D, V = np.linalg.eig(a)  # 特征值,特征向量=np.linalg.eig(a)
    Max_eig = np.max(D)
    CI = (Max_eig - n) / (n - 1)
    if type(RI)==list:
        CR = CI / RI[n - 1]  # 因为数组是从第0位开始的所以需要n-1
    else:
        CR = CI / RI
    if CR<0.1:
        print('CR<0.10 通过一致性检验')
        return True
    else:
        print('CR>=0.10 该判断矩阵需要修改')
        return True

举例

还是使用小石老师的例子

Z代表最底层，即目标层，A代表5中决策准则，B代表3中备选决策，下面分别对A 和 B1-5一共6个矩阵进行解释。

A矩阵的解释

元素a_i_j 表示i因素比j因素的更重要的程度，即Ci:Cj，如果a₂₁=2则表示因素2的重要性远远大于元素1

通过A矩阵我们能得出A1-5对Z的权重

B1-5矩阵的解释

B1 表示的是决策的实际情况在因素1中的比较，如B1₁₃ = 5 表示在因素1中决策B1比决策B3更重要，重要程度是5

通过B1矩阵我们能得出B1B2B3对A1的权重

通过B2矩阵我们能得出B1B2B3对A2的权重

通过B3矩阵我们能得出B1B2B3对A3的权重

通过B4矩阵我们能得出B1B2B3对A4的权重

通过B5矩阵我们能得出B1B2B3对A5的权重

计算权重

此时我们有了层次分析系统，有了比较矩阵，经过了一致性检验，我们需要开始进行判断，到底如何根据这个判断矩阵计算权重？

一般进行判断矩阵权重计算有3种方法

算数平均法求权重
几何平均法求权重
特征值法求权重

算术平均法求权重

列归一化：一列中的每个元素都除以该列的和

对每行数据进行求和

实现代码：

import numpy as np

# 算数平均法求权重
def SuanShuPingJun(a):
    '''
    算术平均法求权重
    :param a: 判断矩阵
    :return: 权重
    '''
    Sum_A = np.sum(a, axis=0)
    Stand_A = a / Sum_A  # 列归一化:列的每个元素除以该列的和
    res = np.sum(Stand_A, axis=1)  # 每行进行求和
    return res

几何平均法求权重

每行的所有元素相乘
相乘的结果开n次方，n为矩阵维度
列归一化：操作方法通上

实现代码：

# 几何平均法求权重
def JiHePingJun(a):
    '''
    几何平均法求权重
    :param a: 判断矩阵
    :return: 权重
    '''
    n = a.shape[0]
    Prduct_A = np.prod(a, axis=1)  # 行元素相乘
    Prduct_n_A = Prduct_A ** (1 / n)  # 相乘结果开n次根
    res = Prduct_n_A / np.sum(Prduct_n_A, axis=0)
    return res

特征值法求权重

求特征向量
特征向量的第一组解

实现代码：

# 特征值法求权重
def TeZhengZhi(a):
    D, V = np.linalg.eig(a)  # 特征值，特征向量=np.linalg.eig(a)
    print(D)
    print(np.var(V,axis=0))
    res = V[:, 0] / np.sum(V[:, 0], axis=0)
    return res

关于特征值的理解

决策选取

我们已经得到了各层对于上一层的权重，那如何进行最后的决策选取呢？

以B1为例计算B1对于目标层Z的权重

W(B1->Z)=W(B1->A1) W(A1->Z) + W(B1->A2) W(A2->Z) + W(B1->A3) W(A3->Z) + W(B1->A4) W(A4->Z)+W(B1->A5) * W(A5->Z)

这样就能分别得到W(B1->Z) W(B2->Z) W(B3->Z)，即三种决策对于目标层的权重，选取最大的即可。

对于判断矩阵的选取方式

可通过查询论文，资料，统计，以及真实数据分析得出，具有一定的主观性。